Novas Cotas para Hamiltonianos Quânticos 2-Locais via Grafos Token
A pesquisa estabelece uma equivalência fundamental: os Hamiltonianos QMC, XY e EPR podem ser expressos como somas diretas de matrizes espectrais (Laplaciana, de adjacência e Laplaciana sem sinal, respectivamente) dos grafos token de *G*. Essa relação permite abordar o estudo desses Hamiltonianos a partir de uma perspectiva puramente teórica de grafos.
Baseado em extensos estudos numéricos, os autores propõem novas conjecturas que estabelecem limites para os raios espectrais dos grafos token. Essas conjecturas são mais rigorosas do que resultados anteriores e são apresentadas como sendo de interesse independente para a comunidade de teoria dos grafos. As conjecturas foram verificadas para diversos grafos não ponderados e ponderados de até dez vértices.
As implicações dessas novas cotas conjecturadas são significativas no campo da computação quântica. Os autores demonstram como essas conjecturas aprimoram a análise de algoritmos de aproximação existentes para os Hamiltonianos QMC, XY e EPR, levando a razões de aproximação de ponta. Por exemplo, sob as conjecturas, um algoritmo para o Hamiltoniano EPR atinge uma razão de aproximação que iguala o estado da arte atual.
Além disso, as conjecturas fornecem cotas combinatórias simples para a energia do estado fundamental do modelo antiferromagnético de Heisenberg, as quais são provadas para grafos bipartidos. Do ponto de vista da matéria condensada, as cotas para os autovalores máximos dos Hamiltonianos 2-locais podem ser interpretadas como cotas inferiores para a energia do estado fundamental dos sistemas físicos correspondentes.
Um aspecto notável do trabalho é a forma como ele conecta problemas QMA-completos, como o QMC, a objetos puramente clássicos da teoria dos grafos (grafos token). Isso oferece uma caracterização clássica (embora de tamanho exponencial) para um problema QMA-completo em termos de objetos grafos-teóricos. O estudo abrange tanto a teoria dos grafos quanto a computação quântica, com seções introdutórias separadas para cada área, permitindo que leitores com diferentes formações acessem o conteúdo. O trabalho também lista problemas em aberto, incluindo a prova formal das conjecturas e a exploração de novos algoritmos baseados nas propriedades dos grafos token.